背理法不要論ってどうなん?

1132人目の素数さん2018/05/16(水) 20:43:44.69ID:YSuI5kv5
東京理科大の先生頑張ってるけど

2132人目の素数さん2018/05/16(水) 20:54:59.29ID:NGAPBS3y
背理法は不要であると仮定しよう

3132人目の素数さん2018/05/16(水) 21:09:51.93ID:GgVOEH1b
天動説と地動説みたいなもの
どちらも正しい場合は、簡潔で理解しやすい方が選ばれる

4132人目の素数さん2018/05/17(木) 00:05:29.45ID:l5aifPvi
実用品の計算機だと有限の立場が普通だけど

5132人目の素数さん2018/05/17(木) 00:15:31.06ID:1xjVKUsZ
有限の立場は背理法を拒否しません

6132人目の素数さん2018/05/17(木) 00:26:54.51ID:vpAiXbDe
自己解決しました

7132人目の素数さん2018/05/17(木) 06:43:31.93ID:qWZE8lcS
まだこれやってたのか

8132人目の素数さん2018/05/17(木) 12:10:15.27ID:8T70ejct
背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない

9132人目の素数さん2018/05/17(木) 18:40:12.19ID:iN6s+SGb
背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる

10132人目の素数さん2018/05/17(木) 19:27:25.48ID:5i6NZYPJ
>>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな

11132人目の素数さん2018/05/18(金) 00:19:12.92ID:kOsOKsPp
神は不在である

12132人目の素数さん2018/05/18(金) 06:11:38.40ID:/rLFIGkz
この話、よくわからないのだけど
例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの?

13132人目の素数さん2018/05/18(金) 09:58:51.04ID:qs0nVYbF
背理法無用論信者による
「√2は無理数」の証明


任意の自然数 a,b につき、
2 * a * a
 素因数2の個数が奇数
b * b
 素因数2の個数が偶数

よって
2 * a * a ≠ b * b

両辺の平方根を取り
√2 * a ≠ b

√2≠ b / a


のように背理法の逆で証明を進める。

14132人目の素数さん2018/05/18(金) 11:20:15.63ID:9WM3MLT9
それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の矛盾箇所は極めて単純なものなので、「矛盾するので仮定は偽であった」という文言を排しても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる

15132人目の素数さん2018/05/18(金) 11:23:49.60ID:9WM3MLT9
訂正

各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので
「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる

16132人目の素数さん2018/05/18(金) 13:24:44.65ID:CvPbHZEO
背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、

「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」

という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。

17132人目の素数さん2018/05/18(金) 15:56:02.14ID:/rGWmATC
背理法だと偽の命題を仮定することになるから
その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので
証明中に偽の命題が出てこない
という点で>>13はアリなのでしょう

18132人目の素数さん2018/05/18(金) 16:17:28.20ID:xZaz6ACB
>>14
一応途中で間違った命題が入ってないんだから、背理法とは別モノでしょう

19132人目の素数さん2018/05/18(金) 16:39:01.57ID:xZaz6ACB
>>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと?使わなくてもできると思うが
もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって

20132人目の素数さん2018/05/18(金) 16:41:03.20ID:wLf2fNpx
教科書に載ってる√2が無理数であることの証明は背理法ではないらしい
『Q&A数学基礎論入門』

21132人目の素数さん2018/05/18(金) 16:52:51.54ID:u4xfRisT
よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話(主張そのものを見れば明らかなことだけど)
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず

22132人目の素数さん2018/05/18(金) 16:59:12.44ID:9WM3MLT9
そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい

23132人目の素数さん2018/05/18(金) 23:30:18.91ID:9raX2Rje
>>13 の証明方法
ネット上でも叩かれまくり

 =でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
 素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか?
 分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。

などなど

24132人目の素数さん2018/05/18(金) 23:59:43.13ID:4eoGWamn
カントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ
証明できなかった訳で。数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ

25132人目の素数さん2018/05/19(土) 00:07:28.71ID:S5Pbjzeo
>>24
√2の無理数性の証明と対角線論法は背理法といっても違うらしい

26132人目の素数さん2018/05/19(土) 00:16:41.68ID:O61Cmx2t
>>24
それの直接証明もあったような

27132人目の素数さん2018/05/19(土) 01:30:08.39ID:aNDPn9PL
>>13
こういうスタイル俺もやるわ。
背理法って要は対偶論法なんだよな。真であることがわかってる命題Aに対して「¬P⇒...⇒¬A」を示して、
そこから対偶で全部ひっくり返して「A⇒...⇒P」とやってPを証明する。
細かいことを言えば頭に量化子がついたりするんだけど、言いたいことは分かると思う。

28132人目の素数さん2018/05/19(土) 05:25:06.60ID:O61Cmx2t
>>27
背理法と対偶は違う

29132人目の素数さん2018/05/19(土) 11:15:58.05ID:WuHGsoBM
背理法と対偶は命題論理の公理として互換性があるので、その意味で同じ

30132人目の素数さん2018/05/19(土) 11:52:04.40ID:75GRRlK2
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31132人目の素数さん2018/05/19(土) 12:45:32.78ID:RP1ROwHE
アナクロスレ

32132人目の素数さん2018/05/19(土) 12:53:11.01ID:aNDPn9PL
>>28
わりぃ、根拠書かないやつは一律に無視してるんだわ

33132人目の素数さん2018/05/19(土) 16:57:46.04ID:Wn+kp4W9
>>23
論点を勘違いした人が叩いてるだけ

34132人目の素数さん2018/05/21(月) 20:47:46.85ID:6mBNuKxt
そんなことはないな
>>23 の論点は重要

これじゃあ背理法を使うべきだな

35132人目の素数さん2018/05/21(月) 21:18:35.42ID:x7a2VNRA
明らかに「背理法」が変な証明もあるのでそれは排除した方がよい。
例えばある集合からそれの冪集合への全射がないことを示すのに、
「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、
単に写像であるということだけから値域に入らないものを作ってる。
それで「背理法の仮定に反する」という証明。変だよな。
普通に、「集合から冪集合への写像は全射ではない」と言えばいいだけだから。

36132人目の素数さん2018/05/22(火) 00:20:16.89ID:CLEbNfNq
>>35
そういうのまれにあるよな

37132人目の素数さん2018/05/22(火) 08:00:21.28ID:14123UEN
≠での変形でも背理法よりかは直感的だと思うが

38132人目の素数さん2018/05/22(火) 08:10:52.20ID:14123UEN
初等的な数学までしか修めていない人は勘違いしがちだが、論理変形だけに目が行って本質を捉え損ねると高度な数学はできないよ
正しさだけを追い求めればいいというものではない
もちろん間違いはないように進める必要はあるが
≠での変形でも、正しさを論理的に確かめてあれば問題はないだろう
どのような手法に基づこうが命題の正しさ自体が保証されることは否定していないし、そこは問題にしていないんじゃないか

命題が論理的に正しいことが理解できるのであれば、その次に重要なのはその命題の証明を含めた理解だよ
ここがおろそかになると真っ当に数学はできない
と、いうよりこの理解度自体が数学における研究に求められる資質の一つ
もちろん、受験数学程度であればそこまで必要はないのかもしれないが
学問として数学を修めるには必要なこと

39132人目の素数さん2018/05/22(火) 08:19:03.85ID:14123UEN
数学の研究発表においても、
背理法で証明すること自体は問題は無いが
背理法で証明します、なんだかよくわからないけど証明は回ります、というのはやってはいけない
必ず何が本質かということは理解していて、説明できなければならない
だから、背理法を使っていても、何が本質かちゃんと押さえておければいいけれども

例えば学生が重要な命題の証明で何が何だかわからないけど証明だけはできます、という認識だと、理解に重大な影響を及ぼすので教育上よろしくないというのはわかる

40132人目の素数さん2018/05/22(火) 08:40:44.07ID:14123UEN
とある数学者も言っていたが、物理や化学と違って数学の命題は暗記するものではなく理解する物である
公理さえ定めてしまえば全て道で繋がっている、一つの世界が出来上がるのが素晴らしいところ

そして命題の理解と証明とはとても密接な関係にあるのだから証明のための証明に抵抗を感じる数学者は少なくないだろう

もちろん実践的な研究のうえで背理法が必要になることはあるし、それについては否定していないのでは
あくまで、数学の本質の理解を妨げる危険性に注意しろ、ということであれば納得できるはなし

41132人目の素数さん2018/05/22(火) 11:20:02.64ID:zqN8zizh
その持論は結構なんだけど、長々と書いた動機が
「≠での変形でも背理法よりかは直感的だと思う」
という頼りない感想なのが頂けない
結局何に当てはめてよいのか分からない空論に聞こえる

42132人目の素数さん2018/05/22(火) 11:43:54.06ID:rg/W5qSg
≠での変形
良くないな

43132人目の素数さん2018/05/22(火) 14:49:50.85ID:7H2iZSRB
すまん
≠の変形がなんで駄目なのか教えてくれまいか

44132人目の素数さん2018/05/22(火) 17:05:23.82ID:kx8BkJjt
こいつ理科大の先生じゃね?

45132人目の素数さん2018/05/22(火) 20:28:31.40ID:Lkf1NvSC
そんな偉い先生が降臨されたらすごいな

46132人目の素数さん2018/05/22(火) 23:21:55.59ID:GJrEw1mc
背理法を使った手続きの方が、むしろ数学的(論理的)に見えるけどね。
統計検定などでもそうでしょう。いきなり、実証したい仮説を持ってくるのでなく、
まずは無に帰したい方の帰無仮説を用意する。それにp値などのパラメータを
付与して、その帰無仮説の蓋然性を確率的に検討する。そして、その仮説が
なかなか有り得そうにないと判るとそれは棄却されて、検定者が本来、採用したかった
方の仮説である対立仮説が、そこでようやく採択される。

もちろん、それは確率論的な話なので、ここで採用られた仮説が完全に真である保証は
なく擬陽性や偽陰性の可能性も少しは残る。ただ、ここで言いたいのはそのことでなく、
背理法のような一見すると迂遠で冗長なアプローチにこそ、数学的な真理へ至る本質
があるのではなかろうかという私なりの推論ね。

47132人目の素数さん2018/05/23(水) 00:10:37.58ID:rG9o6+al
>>46
本題から外れるから詳しく言わないけど、仮説検定は哲学的に批判があるよ。
エリオット・ソーバーの『科学と証拠』とかに書いてある。

48132人目の素数さん2018/05/23(水) 00:11:01.75ID:g5YtXR+9
二重否定の除去

49132人目の素数さん2018/05/23(水) 00:35:18.04ID:z1HLNiok
>>43
≠を用いることは論理的には何も問題ないのだが、
a≠bからはaがbでないことはわかるがaの構造について何もわからないので、証明はできても理解に繋がりにくい
というようなことが丁寧に38から40に述べられている

個人的には、=で結ばれるのが一つであるのに対し≠では無数のものが結ばれ得るので考えなければならない対象が多くなるのも問題
多くのものについて議論すると書き手や読み手にとって量的に大変なだけでなく、場合分け漏れがないかも考えねばならないので負担が増える
例えば13の議論は既に23指摘されているように素因数分解の一意性を証明せねばならない、といった具合

50132人目の素数さん2018/05/23(水) 01:31:34.24ID:9PsVwv3P
>>49
数学は論理だけではできないよ、研究してる体系の本質を理解しないと
直感的な理解が大切
もちろん命題の正しさの保証や計算を回したりする段階では論理が使われるが
それは出来上がったものを使ったり予想の検証をするときに必要になるのであって
直感的な理解をしていないとそもそもそういった数学体系自体が出来上がらない
すでに確立された手法を用いる応用家にはむしろその論理や正しい使い方の面だけでいいけれども、学問としての数学は論理だけでは進まない
そこまでわかって、直感的な理解と証明の本質の理解と合わせてあくまで証明のプロセスの簡略化として背理法を用いるなら問題ない

51132人目の素数さん2018/05/23(水) 01:32:21.26ID:9PsVwv3P
間違えた
>>50>>46あて

52132人目の素数さん2018/05/23(水) 01:50:11.90ID:9PsVwv3P
>>49
前半については曲解

最後の行については素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う


要するに論点が違うんだと思うが
背理法を使うのに気をつけろと言ってる人は本質の理解を重視していて
このスレでの批判的な人は証明としての簡略化を重視している

背理法では証明は正しく回っても「なぜ成り立つのか」を本質的に見落とす可能性があるし、途中で出てきた命題は基本的に成り立たない
直感的な証明においては証明の途中においては正しい普遍的な性質が得られているので、なぜそうなっているのかが分かる

53132人目の素数さん2018/05/23(水) 03:29:42.49ID:u7pncPE+
>>50>>52
なるほど、そういう考え方があるのですね。それって、位相幾何学者の
ブラウワーなどが提唱した背理法や推論規則を捨象する「数学的直観主義」みたいな
立ち位置なのでしょうか?

ただいくら直観的な証明が得られても、やはりそれが真か偽かを論理的に証明してみないと、
そこに誤謬のリスクがあるのではないか。たとえば、古代人にとっての直観は、地球は平面で
あり、かつ、プトレマイオス的な天動説を皆で信じていた。コペルニクスの地動説が
出てくるまでは。だから、直観を使うから対象の本質や普遍に迫れるとは限らないのでは?

むしろ人間の認知の特徴にあるのはバイアスや偏差、歪曲化、恣意性、忖度であるので、
そこを超える為に論理が要請される気がする。

54132人目の素数さん2018/05/23(水) 04:18:55.82ID:u7pncPE+
哲学者のヒュームは、論理をもっと先鋭化させるか、あるいは科学的な論理性や
真実性をも懐疑にさらす。たとえば、ヒュームは太陽が東から昇り、西へ沈むことは
必ずしも客観的な事象ではないとする。それは、ただの慣習的に見られた認知に過ぎず、
明日も未来もまた必ずそうだとは言えない、といった考えを述べた。

一見すると荒唐無稽なこのヒュームの主張こそが、実は真に論理的なものであると
言える。なぜならこの宇宙空間や地球環境に著しい変異が生じたりした場合には、
既存の科学体系がそのまま適用出来なくなる可能世界も十分に考えられるからだ。
それは非ユークリッド幾何学の世界では、ユークリッド幾何学の価値観だけでは
不十分であるのと同じこと。だから、論理性もそれを先鋭化させていくと、
チューリングマシンのような単なる機械的な自動手続きを超えた真理みたいなものが
垣間見えるかもしれないよ。

55132人目の素数さん2018/05/23(水) 13:37:28.34ID:wGqXQ5LE
>最後の行については素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う

これ数学の否定

56132人目の素数さん2018/05/24(木) 05:07:46.34ID:y2M8t/G4
>>52
>素因数分解の一意性については普遍的な性質であり独立な命題なので、数学を体系的に理解していく上で問題はないと思う
数学に対しその程度の認識でよくもまあ本質だの一つの世界だの理解だのと宣えたものだ
ツェルメロやフレンケルやヒルベルトといった先人を侮辱しているとしか思えない

57132人目の素数さん2018/05/24(木) 05:45:32.31ID:P3TFQ+0F
>>55
>>56
おおかた啓蒙書の内容垂れ流してた中学生がボロ出したってとこだろ
可哀想だからほっとけ

58132人目の素数さん2018/05/24(木) 06:39:50.42ID:Uxl6mYqF
>>53
直観主義までは行き過ぎというか、排中立を認めない数学者はほとんどいないと思う
少なくとも解析、代数、幾何系では


>ただいくら直観的な証明が得られても、やはりそれが真か偽かを論理的に証明してみないと、そこに誤謬のリスクがあるのではないか。

これはもちろんその通りで、論理的に正しいことの証明は必須、前提ではある
論理的に正しいことを確かめたうえで、なぜそうなっているのかの理解が大切ということ
もちろん殆どの数学者は背理法を使っていもそれができているし、取りこぼすことはない
ただ、学生とかがそうならないように気をつけようね、という意味で配慮している先生とかはいる

59132人目の素数さん2018/05/24(木) 06:40:39.08ID:Uxl6mYqF
>>56
すまんがなにをいってるかわからない

60132人目の素数さん2018/05/24(木) 06:41:33.08ID:Uxl6mYqF
>>57
かわいそう
なにか数学にコンプレックスがあるんだね
一方的に見下すことしかできないなんて
かわいそう

61132人目の素数さん2018/05/24(木) 06:45:41.91ID:Uxl6mYqF
ちなみに私の専門は幾何系で、基礎論とか論理学の深い話はそこまでできないよ
あくまで代数とか幾何とか解析のくくりの数学者のコミュニティや共通認識がある程度わかるだけで

62132人目の素数さん2018/05/24(木) 07:13:30.10ID:Uxl6mYqF
>>53
ちょっとだけ加えていうと、確かに直感だけでは取りこぼすような所もある
式の上での変形でしか進められないようなものもあるし、直感的な理解がほとんど得られないが証明はでき有用な命題や補題というのもある
そういった意味では、直感によらない論理的な操作がなくてはならない部分、というのは存在していたのだと思う
しかしながら、少なくとも私がこれまで学んできた数学の理論(最新の研究分野も含む)においては、そういった例外は少数であり(もちろん重要なものではあるが)、基本的には各分野は直感的な理解やなんらかの意味付けをもとに体系化が進められていくものであると断言できる
仮によくわからない性質があったとしても、それをそのまま鵜呑みにせず新しくいろんな概念や体系を作り出すことでそこになんらかの意味を見いだそうとする試みが現代までの数学を形作っていると言っても過言ではない
もちろん直感だけでは理解出来ない命題が現れたときに直感によらずある程度証明できるような力は必要だと思うがね




まあ直感ということを強調しすぎたけれども、ざっくりまとめると
論理に基づいてしっかりやることも、直感的に理解することもどちらも大切だということ
数学に慣れてる数学者が背理法を使うことにはなんら問題はないが
あまり慣れてない学生は背理法だけで証明を回して、命題の成り立つ本質を見失ったりしないように気をつけよう、教える側もそうならないよう注意しよう
ということだね

イメージとしては
論理的な力は、足場を固めるための力
直感的な理解は、その体系の本質を理解するため、先へ進めるための力

63132人目の素数さん2018/05/24(木) 07:36:33.17ID:Uxl6mYqF
>>54
中々興味深い話ではある
先に述べた通り、私のわかる範囲(いわゆる解析学や代数学や幾何学といった分野)の理論は必ず何らかの性質や概念を体系化していくものなので、論理だけでは必要な定義もわからず、体系として形作ることもできない

しかしながら、人間的な要素を排除して、論理を論理だけで繋げていった先に何があるのかは面白い話だと思う
それについてはどうなるか楽しみにはしている

64DJgensei artchive gemmar2018/05/24(木) 16:42:04.39ID:O+GZIpbX
明日も同じ繰り返しだと発狂するほど退屈ですか?

65132人目の素数さん2018/05/25(金) 12:17:13.13ID:BMUerhPJ
言っちゃ悪いけど、宗教者の戯言と同じだね、理屈の類ではない
都合よく「これは神の御業だ、神の試練だ」とか定めて世界観つくってるアレ
信じる者にしか通用しない

66132人目の素数さん2018/05/25(金) 13:22:46.69ID:mpMsZtdc
その教義における
「背理法を使わない方がわかりやすい」
という点がまるで信じられない

67132人目の素数さん2018/05/25(金) 22:31:39.67ID:5iqVuWq4
素因数分解の一意性
って本当に背理法じゃないと証明できないの?

68132人目の素数さん2018/05/26(土) 04:35:31.43ID:x2Q49scf
んなこたーない
排中律がなくてもm<n∨m=n∨m>nは証明できる
後はお馴染みの素因数分解の一意性証明でよい
m<nとm>nのときは矛盾するのでm=nと分かる

69132人目の素数さん2018/05/26(土) 06:36:05.24ID:Um3lgFx/
矛盾て

70132人目の素数さん2018/05/26(土) 07:49:28.48ID:N2EQPiGo
世界はそれを背理法と呼ぶんだぜ

71132人目の素数さん2018/05/26(土) 08:32:02.79ID:x2Q49scf
直観主義論理で証明できるかといえば、できる
m<nとm>nのとき矛盾を導くのは、背理法のプロセスではなく、m<nとm>nの否定に過ぎない
表面上、背理法の形式をとるかどうかを問題とするなら、既に指摘されたように背理法を対偶に書き換えることで解決済み

72132人目の素数さん2018/05/26(土) 09:39:47.06ID:efhvyUI2
そっからどうやってm=nが出てくるんですか?

73132人目の素数さん2018/05/28(月) 23:00:08.42ID:VVwITxIT
命題
無理数⇨既約分数で表せない

対偶
既約分数で表せる⇨有理数

74132人目の素数さん2018/05/29(火) 01:32:41.07ID:ZAB9lIJR
背理法で証明できたと思っても計算ミスだったということは起こりがち

75132人目の素数さん2018/05/30(水) 00:40:09.49ID:CmGuvioJ
≠で式を変形するよりはまし

76132人目の素数さん2018/05/30(水) 00:49:21.82ID:uY6vtGQa
背理法不要論はよく分からんけどそれと同じくらい
≠変形よくない論も分からない

77132人目の素数さん2018/05/30(水) 01:00:45.26ID:nZstFZFd
胴上げして突き落とす論法

78132人目の素数さん2018/05/31(木) 20:43:52.76ID:2atK/LqX
背理法がどうこうじゃ無くて、

数学において
数学において
数学において

1. 証明とは公理から推論出来ると言う意味であり、
2. それ以外の意味は全く無い、

この二つを認めるなら、数学において背理法が正当なものであることは全く明らかであり、認め無いなら数学を理解し行うことは不可能だと言うだけのことだ。
多分数学における背理法の有効性を疑うヤツは、演繹と帰納の区別すら出来てないただのアホだろ。
でなきゃシュレーディンガーの猫ガーとかの、単に混乱を望んでいるだけのキチガイか。

79132人目の素数さん2018/05/31(木) 20:53:33.69ID:2atK/LqX
背理法とは、結局否定出来ないことを示すと言うことだ。
公理から推論出来ないとしたら辻褄が合わないのだから、公理から推論出来るのだと言うだけのこと。

小学校のとき面積を出すのに引いて出した問題があっただろ。そのほうが計算が簡単だったから。
そんなんと結局同じことだよ。

80132人目の素数さん2018/05/31(木) 21:13:11.63ID:LWh35W+e
>背理法とは、結局否定出来ないことを示すと言うことだ。
>公理から推論出来ないとしたら辻褄が合わないのだから、公理から推論出来るのだと言うだけのこと。

全然違う

81132人目の素数さん2018/05/31(木) 22:40:52.71ID:EOqQyi8Y
>>80
お前がね。

82132人目の素数さん2018/05/31(木) 22:45:56.40ID:EOqQyi8Y
背理法と言うものを何か特殊なもののように思っているから理解出来ないだけだ。
我々は普通に日常でも背理法を使う。
「〜〜だとしたら、、、、いやいやそれじゃ〜〜が〜〜したことになる。そりゃいくらなんでもおかしい。あり得ん。やっぱり〜〜のはずだ。」
こういう考えかたは誰でもやるだろう。
これは背理法だ。

83132人目の素数さん2018/05/31(木) 22:52:06.70ID:LWh35W+e
二人とも「推論できない」と「否定が証明できる」を混同している

84132人目の素数さん2018/05/31(木) 22:58:00.73ID:gVAV8JX/
対偶証明法と背理法って違う方法だよね

85132人目の素数さん2018/05/31(木) 22:59:33.65ID:EOqQyi8Y
あと背理法が構成的でない云々の指摘についても、一見正しそうで的外れだ。
数学の第一義は厳密な証明にある。
「代数方程式は複素数の範囲で必ず根を持つ。」代数学の基本定理だ。
根を求める方法について、全く構成的でない。
では代数学の基本定理は無意味なのか?
「微分と積分は逆演算だ。」解析学の基本定理だ。
しかし積分や微分を求める方法について何も語って居ない。
ではこの解析学の基本定理は無意味なのか?


 

86132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:01:44.53ID:LWh35W+e
二人とも、じゃないな
同一人物か

87132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:02:09.53ID:EOqQyi8Y
>>83
バカはお黙り。

88132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:04:02.91ID:EOqQyi8Y
>>83
「公理から推論出来無いことが証明される。」
「否定が証明される。」
同じだアホw

89132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:11:45.24ID:LWh35W+e
事実:(ZFCが無矛盾ならば)連続体仮説はZFCから推論できない
誤解:(ZFCが無矛盾ならば)連続体仮説の否定がZFCで証明できる

90132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:16:06.43ID:EOqQyi8Y
>>89
(ZFCが無矛盾ならば)連続体仮説はZFCから推論できないことが証明される

(ZFCが無矛盾ならば)連続体仮説はZFCから推論できないのは誤りであるとすることの否定が証明される

全く同じですなw

91132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:19:20.32ID:EOqQyi8Y
>>89
連続体仮説はそもそも連続体仮説をZFCと独立な公理とすべきかどうかと言う問いだろう。
公理を固定して話しをしている場合とは違うだろが。

92132人目の素数さん2018/05/31(木) 23:55:07.84ID:LWh35W+e
処置なしだな

93132人目の素数さん2018/06/01(金) 00:11:44.50ID:tE/vX+GX
お前とかなw

94132人目の素数さん2018/06/01(金) 00:23:31.93ID:MEhb6p3v
ロジックの基本さえ知らないなら公理とか推論とか言わなきゃいいのに
馬の耳に念仏とはこのことだな
自分の使ってる言葉の意味さえ知らない者には処置なしだ

95132人目の素数さん2018/06/01(金) 00:24:56.93ID:alFzSTiE
横レスだが。。

公理系を ZFC に固定する。ID:EOqQyi8Y によれば、ZFC の中で記述できるいかなる問題 Q も、

「 Q が ZFC から推論できないことと、¬Q が ZFC で証明できることは同じことだ 」

と言っていることになる。たとえば、Q として

Q: √2 は無理数である

という問題を考えてみると、Q は ZFC から推論できないし、¬Q は ZFC で証明できる。

……ということでいいのか?

96132人目の素数さん2018/06/01(金) 00:26:27.68ID:alFzSTiE
すまん、Q の中身が逆だった。たとえば、Q として

Q: √2 は有理数である

という問題を考えてみると、Q は ZFC から推論できないし、¬Q は ZFC で証明できる。

……ということでいいのか?

97132人目の素数さん2018/06/01(金) 00:59:37.51ID:MEhb6p3v
そのQは反例にならない
反例になるのは次のどちらかの場合
・Qは証明できないし、Qの否定も証明できない
・Qは証明できるし、Qの否定も証明できる

前者ならQは独立命題と呼ばれる
後者なら理論は矛盾している

98132人目の素数さん2018/06/01(金) 01:08:10.55ID:alFzSTiE
>>97
いや、この Q 自体が反例になっている必要は無いんだ。
あくまでも ID:EOqQyi8Y がこの Q のことをどう思ってるのか知りたかった。
あるいは

Q1: RからNへの単射が存在する

とかでもいい。Q1 は ZFC から推論できないし、¬Q2 は ZFC で証明できる。
だから、この Q1 も反例にはならないんだが、反例になっている必要はなくて、
ID:EOqQyi8Y がこの Q1 のことをどう思ってるのかなっていう。

99132人目の素数さん2018/06/01(金) 01:10:44.83ID:alFzSTiE
またミスってる。Q2じゃなくてQ1だ。。

× Q1 は ZFC から推論できないし、¬Q2 は ZFC で証明できる。
〇 Q1 は ZFC から推論できないし、¬Q1 は ZFC で証明できる。

100132人目の素数さん2018/06/01(金) 05:09:51.46ID:Dclwe+O2
もし数学に背理法を不要とした場合、どうなるかを背理法で証明してみよう


数学に背理法は不要である(命題)

背理法を使わない数学体系は、夥しい困難と混乱、カオス、狂気に陥った

よって、数学に背理法は不要であるという命題は、数学の成立と整合性と矛盾する

すなわち背理法によって、数学における背理法の必要性が証明された(証明終)



これはトートロジー(恒真命題)ですw

101132人目の素数さん2018/06/01(金) 08:09:32.66ID:LMxtHqqh
>>78
論点がずれてると思うんだけど
論理としての正しさではなく、直感的な意味を理解するための方法論として議論されていると思うのだけど
君はまず数学をやる前にまず日本語の復習からだな

102132人目の素数さん2018/06/01(金) 08:24:56.81ID:O3l0fOWD
例えばチャーハンを作るときに

「初めに卵とご飯を混ぜておくとパラパラになりますよ」
という意見に
「後から卵をいれてもチャーハンはできるだろう!?何を言ってるんだ」
と反論してるようなおかしさ

数学を語ろうという人間が論理的に話をできないのは恥ずかしいことだと自覚して欲しい

103132人目の素数さん2018/06/01(金) 08:28:47.63ID:O3l0fOWD
>>85
これについても、厳密な証明は前提条件だということをわかっていない

104132人目の素数さん2018/06/01(金) 08:45:27.12ID:O3l0fOWD
もうちょっといい例えを思いついたが
プログラムなんかで、ここはifelseよりforを使ったほうが見やすいとか、forより〜を使ったほうがわかりやすいとかあると思うが、そういった話でしかない

それに対して、ifでもちゃんと回るんだ、とか、同じ条件を表してるんだ、とか言っても仕方ないだろ

105132人目の素数さん2018/06/01(金) 12:05:34.83ID:B4J65K1Y
そもそも教育上の話ですし
>>100の証明もどきは意味不明ですし

106132人目の素数さん2018/06/01(金) 13:20:53.91ID:Dclwe+O2
>>105
それ戯れに書いただけなので、素で受け取らないでくださいw

ただ、数学のテキストを見ると、証明で背理法が使われているのを見ることが多いので、
もし、背理法が不要となったら、世に出回っている数学のテクストが大幅な修正や改訂を
余儀なくされて、困るだろうなという感想を持ちました。

それに、もし、背理法がない方が数学の利便性なり、見通しが良くなる、または数学の本質に
迫りやすくなるということであれば、古の天才数学者、たとえばガウスやオイラー、カントール
などがそうした背理法不要論の考えを少しでも述べていたはずで、それらがないということは、
数学において背理法は必須の道具や要素である、というのが推論できるということです。

107132人目の素数さん2018/06/01(金) 20:26:00.38ID:Ek7pEAZO
藤林丈司

108132人目の素数さん2018/06/07(木) 19:47:45.55ID:lCsoUF6k
このスレの結論!

背理法不要論は不要でした

109132人目の素数さん2018/06/11(月) 21:05:27.99ID:AEL/Onrw
はあ?

110132人目の素数さん2018/06/14(木) 20:05:29.06ID:dbG9pYK6
>>1

矛盾の証明には背理法が必要となる。

111132人目の素数さん2018/06/14(木) 20:32:07.13ID:VQTERuTU
>背理法不要論は不要でした

良い結論が出ました

112132人目の素数さん2018/06/15(金) 13:18:15.50ID:UmqzfTYH
これが"背理法不要論不要論"の始まりである。

113132人目の素数さん2018/06/15(金) 13:26:15.27ID:EdlyCsTb
誰も論じないので終了に

114132人目の素数さん2018/06/15(金) 15:43:03.19ID:LGnjfq54
背理法の歌
ハイリハイリフレハイリホー

115132人目の素数さん2018/06/16(土) 05:44:15.06ID:o3cP7wn7
大きくなれよ

116132人目の素数さん2018/06/16(土) 07:49:52.49ID:aFi+zhA8
>>3
天動説は正しくない

117132人目の素数さん2018/06/16(土) 08:05:39.94ID:aFi+zhA8
背理法による証明は危険ではある。
1つの間違った命題からすべての命題が導かれてしまう。
普通数学者は自分が使う定理の証明を全てフォローしているわけではない。

118132人目の素数さん2018/06/16(土) 08:22:18.16ID:VA3h4SNB
>>117 がバカであることが証明された

119132人目の素数さん2018/06/16(土) 08:31:41.67ID:aFi+zhA8
>>118
正しくない命題を「証明した」論文は珍しくない。
念のため言っておくが、「結果は正しいが論証が間違っている」のではなく、結果自体が間違っている論文。

120132人目の素数さん2018/06/16(土) 08:53:31.43ID:lt3tUfJD
それが背理法と何の関係があるん?

121132人目の素数さん2018/06/16(土) 09:04:22.07ID:aFi+zhA8
ある命題を証明するとき「それが偽だとすると、誰々が示した結果に矛盾するから背理法によりこの命題は正しい。」という論法は普通に使われるでしょ?

122132人目の素数さん2018/06/16(土) 09:09:45.45ID:lt3tUfJD
「誰々が示した結果」の真偽の話ですか?

123132人目の素数さん2018/06/16(土) 14:20:43.93ID:ULtD1IQ9
背理法全く関係ないw

124132人目の素数さん2018/06/16(土) 15:01:49.68ID:aFi+zhA8
関係あるじゃん
研究で使う道具だてを全部厳密に証明チェックしてるわけじゃないんだから

125132人目の素数さん2018/06/16(土) 15:06:00.35ID:GIIpfy5b
>>124
え、お前チェックしてないの?

126132人目の素数さん2018/06/16(土) 16:54:00.10ID:EzjPW5B3
はあ?

127132人目の素数さん2018/06/16(土) 17:38:26.57ID:ULtD1IQ9
背理法でなくても「誰々が示した結果」を引用するとき常につきまとう問題でしょそれは

128132人目の素数さん2018/06/16(土) 20:34:31.76ID:VA3h4SNB
数学じゃあダメ
引用した文献が間違ってたら、引用者にも責任及ぶ

129132人目の素数さん2018/06/17(日) 06:39:26.90ID:hSKnHgWy
たとえばπが超越数であることを多くの人は知識として知ってるだけで、実際の証明をフォローした人は数学者でも半分もいないだろう。
しかし円積問題を解いたという論文が有ったらインチキ扱いをする。
このとき暗黙のうちに背理法を使っている。

130132人目の素数さん2018/06/17(日) 07:39:31.40ID:8hTE4TZE
それのどこで背理法を使ってるの?

131132人目の素数さん2018/06/17(日) 08:44:00.50ID:Pl5P1TzS
少なくとも超越数の論文を書く人はきちんと実際の証明を理解する必要がある

132132人目の素数さん2018/06/17(日) 17:16:41.13ID:SYehBfRX
>>129
証明に基づかずに主張するやつは数学者じゃねえから
ただの大学職員

133132人目の素数さん2018/06/17(日) 17:35:51.04ID:Mnf6xpK6
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等(総資産数京円以上)の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮 
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。 
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。

世界中の人間が知るべきこと

・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。

・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。

・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。

134132人目の素数さん2018/06/17(日) 23:24:53.62ID:hSKnHgWy
>>132
ヴォエヴォドスキの論文の定理が間違っていて他の数学者は間違いに気付かず引用していた、って話聞いたことない?

135132人目の素数さん2018/06/18(月) 00:43:26.34ID:n+eO5UUc
間違いに気付かず引用したことで非難されたんだろ

136132人目の素数さん2018/06/18(月) 10:39:49.59ID:/pwnfSk1
やっぱり背理法は関係ないじゃん

137132人目の素数さん2018/06/18(月) 11:24:49.38ID:PI1pwb8W
>>134
"引用"ってのがそれを正しいこととして主張することを含むなら、そいつら全員数学者じゃねえ
証明を飛ばすって数学者がやっちゃいけないことだからな

その"引用"が「もしこれが正しいならば、・・・が言える」っていうふうに条件文の前件に持ってきてるだけならもちろんセーフ

138132人目の素数さん2018/06/18(月) 11:37:34.66ID:H+4qa15h
「ナントカ予想」の引用は良くある

139132人目の素数さん2018/06/18(月) 13:44:13.69ID:/pwnfSk1
規範と自然法則を混同してるヤバい人がいるな
「○○しちゃいけない」が「○○なんてあるはずない」にすり替わる

140132人目の素数さん2018/06/18(月) 14:42:06.24ID:XgdM0/Qg
だから「…とすると○○であることに矛盾する」という論法は○○が長年に渡って確証された命題にしか使えない。

141132人目の素数さん2018/06/18(月) 14:48:17.90ID:p5v2OYvN
○○が正しければ問題ないということですよね

142132人目の素数さん2018/06/18(月) 14:48:36.43ID:XgdM0/Qg
例えば上に出てきた「素因数分解の一意性」だって、Z[1の原始n乗根]でも成り立つと無根拠に思い込まれていて、
フェルマーの定理を素因数分解の一意性を使って背理法で解こうとする試みがあった。

143132人目の素数さん2018/06/18(月) 15:21:52.17ID:zfv0gH0G
>>142
>とする試みがあった
あったからって何だよw

144132人目の素数さん2018/06/18(月) 15:27:20.58ID:XgdM0/Qg
>>143
知らない?コーシーのような大数学者がこのアプローチで解こうとした。
n=3,4のときはそれでうまくいくからね。

145132人目の素数さん2018/06/18(月) 15:39:37.66ID:Xh2Wn5b/
数学者じゃないと指摘されて動揺したから19世紀までさかのぼって自分と同じことしてるやつ探してるの可愛いね

146132人目の素数さん2018/06/18(月) 15:45:07.34ID:XgdM0/Qg
>>145
マジで意味不明
現在だって起こり得る話なのに

147132人目の素数さん2018/06/18(月) 16:01:14.55ID:p5v2OYvN
だから背理法の話じゃないですよね?

148132人目の素数さん2018/06/18(月) 16:03:19.90ID:y1uLOPY4
>>130
πが超越数でないとすると、πは代数的数で、πの有理係数の最小多項式が存在する。
超越数の証明における背理法の議論では、基本的にこのことを念頭において上手に矛盾を導く。
証明方には、オイラ−の公式を用いる方法や、他の方法もある。
πより前に超越性が示されたeでも有理係数の最小多項式の存在性を仮定する点では同じ。
こちらでは、多項式関数や積分を設定して上手に矛盾を導く。
代数的無理数やeの無理数度は2だから、eの超越性の証明にはディオファンタス近似は使えないだろう。

149132人目の素数さん2018/06/18(月) 16:13:27.82ID:zfv0gH0G
「論文を書け」っていう圧力が強くて証明を読む時間がないんだろうけど、読まないことが正当化されるわけじゃないからな?

真か偽か自分で分かってないことを真だと主張するようなのは数学やってるって言わねえから

150132人目の素数さん2018/06/18(月) 16:19:51.01ID:y1uLOPY4
>>130
>>148について
証明方 → 証明法
オイラ−の公式 → オイラ−の等式

151132人目の素数さん2018/06/18(月) 16:31:01.80ID:y1uLOPY4
>>149
証明はダメもとでも一度自分で試みてみるモノだ。
そうした方が、得られることは大きい。

152132人目の素数さん2018/06/18(月) 21:36:06.10ID:n+eO5UUc
素因数分解の一意性が全ての代数体に当てはまるのではないことは、
今の教科書ではきちんと注意言及されている事

153132人目の素数さん2018/06/20(水) 13:37:22.37ID:fgl9WCRP
1は素数ですか?

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

154132人目の素数さん2018/06/20(水) 14:15:30.45ID:4nGl+w2k
1が素数でないのは、そのように定義しているから。

155132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:28:34.25ID:v2dnm5yR
>>152
それは今では常識ということでコーシー当時はそうではない。

156132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:34:06.16ID:IqgaHW8/
コーシーをいじめるのはやめろぉ!

157132人目の素数さん2018/06/20(水) 18:58:33.63ID:crNRchAY
連続関数は少なくとも一点で微分可能であると信じられていた時代もあるよぬ

158132人目の素数さん2018/06/20(水) 19:28:30.91ID:fgl9WCRP
5=1・5=1・1・5=1・1・1・5=

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

159132人目の素数さん2018/06/23(土) 20:20:36.49ID:ayc/vlBj
>>1
ただのトンデモですな。

160132人目の素数さん2018/06/23(土) 21:51:05.11ID:0NweKHUP
ここでの議論が意味があり、背理法にも欠陥があるとしても
それが理科大のセンセが正しいという結論に直接は結び付かないという当たり前の論理をここに記しておく

161132人目の素数さん2018/06/24(日) 08:53:05.90ID:TsCObCt7
>>12
多項式x^2-2はアイゼンシュタインの既約判定法より有理数体上既約
根pの最小多項式の次数が1であることとp∈Qであることは同値
よって√2は有理数ではなく無理数

162132人目の素数さん2018/06/24(日) 13:45:50.30ID:1cg7gtJy
そのアイゼンシュタインの既約判定法を、背理法なしで証明する必要があるな

163132人目の素数さん2018/06/25(月) 12:20:41.60ID:NAEmjsCK
トロトロ証明を読んでて論文が書けないからって、証明を読み飛ばして論文量産してるやつに噛みつくのやめろよ

164132人目の素数さん2018/06/28(木) 15:42:10.04ID:DbBzncmw
背理法は対偶証明法の一種か対偶証明法が背理法の一種か
明快に教えてエロい人

165132人目の素数さん2018/06/28(木) 17:53:06.14ID:prqjFl7D
>>164
形式的にはどっちを仮定してももう一方が出る

哲学的には、背理法は大域的な手法で、論理体系全体の無矛盾性を根拠にしてる
無矛盾性を仮定していい場合には使えるけどそうじゃない場合には使えない
対偶法は局所的な手法で、P→Qと¬Q→¬Pが同値であるようなP、Qのペアがいくつか既知なら
それらを組み合わせて成立する。論理体系全体の無矛盾性については考えなくていい

166132人目の素数さん2018/06/28(木) 18:07:44.30ID:Vco+aJry
>>164
狭義には違うもの
ウカシェヴィチの公理系では「対偶による証明」、
つまり「¬p→¬qからq→pを推論する」ことはできるが、
「狭義の背理法による証明」は「排中律(公理)」かまたは「二重否定の除去(推論規則)」がないとできない(ウカシェヴィチの公理系では二重否定の導入はあるが上の2つはない)

らしいです
間違ってたらごめんな

167132人目の素数さん2018/06/28(木) 18:40:29.34ID:ReQouSaa
>論理体系全体の無矛盾性を根拠にしてる
してません
矛盾していれば何でも証明できるのだから背理法の証明だって常に成り立ちます

168132人目の素数さん2018/06/28(木) 18:59:44.83ID:prqjFl7D
>>165
注釈だけど一行目は古典論理みたいな無矛盾律かその仲間を仮定した体系を暗に仮定してるから
後半部分と問題意識がずれてる。

169132人目の素数さん2018/06/28(木) 19:07:26.03ID:prqjFl7D
>>167
体系が矛盾してることを知りながら、あるいは矛盾してるかもしれない体系に対して
背理法を公理として導入することが科学哲学的に不正だってことは分かる?

170132人目の素数さん2018/06/28(木) 20:03:54.63ID:ReQouSaa
あなたは全知全能の神ですか

171132人目の素数さん2018/06/28(木) 20:47:54.77ID:mFJqTZLi
議論のやり方が分からないやつが数学板に来るなよ 笑

172132人目の素数さん2018/06/29(金) 16:01:25.29ID:PlFzt4v1
喧嘩すんなポテトども

173132人目の素数さん2018/06/29(金) 20:08:34.35ID:EcYG9ufi
全知全能の神です

0=1

とすることに決定しました。

174132人目の素数さん2018/06/29(金) 23:22:04.33ID:oUoZuWaZ
>>173
驚きを持って確認すると
0!=1!
ということ?

175132人目の素数さん2018/06/30(土) 14:14:44.67ID:ImdABTeg
飛躍しすぎだね

0^0 = 1^1

でいいでしょう

176132人目の素数さん2018/07/01(日) 11:52:19.19ID:TZEfdAVy
AAみたい
(0^0) = (1^1)

177132人目の素数さん2018/07/01(日) 17:29:00.67ID:5oNPdBQt
CCLemon
((0^0) = (1^1) )♡

178132人目の素数さん2018/07/04(水) 12:52:13.29ID:8Nj7eEKM
哲学やると全知全能の神になっちゃうんだなあ…

179132人目の素数さん2018/07/04(水) 12:54:14.45ID:8Nj7eEKM
お馬鹿さんのために解説してあげます
全知全能ではない普通の人にとっては、あらゆる体系が「矛盾してるかもしれない体系」なんですよ

180132人目の素数さん2018/07/04(水) 23:41:17.19ID:pG9BeqD1
無矛盾が証明されている公理系もある

181132人目の素数さん2018/07/05(木) 00:01:48.55ID:ORNJdjzU
体系Tが無矛盾だと証明されている = 「Tで矛盾を証明できる」と仮定すると(メタレベルで)矛盾することが(メタレベルで)証明されている

これはTで矛盾を証明できる可能性を否定するものではない

182132人目の素数さん2018/07/05(木) 11:01:18.31ID:7dN/LoAC
>>181
群論の公理系とか実数体の公理系とか構成的に無矛盾であることが証明されている。

183132人目の素数さん2018/07/05(木) 13:19:36.52ID:WmC+mt0M
>>182
その証明は、群論や実数論自体の言語を用いて証明されていますか?

184132人目の素数さん2018/07/05(木) 14:09:11.91ID:9AyYro52
あほらし

185132人目の素数さん2018/07/05(木) 15:37:25.74ID:oIUeu8Rw
だから、自己言及のパラドクスなんでしょ。
クレタ人の嘘つきパラドクス。

その島民が全員嘘つきで有名なクレタ人が住むクレタ島。そこから一人のクレタ人が観光客に「わたしは嘘つきです」と言った。この文の言明は、すなわちこの命題は
真なのか偽なのか判らないでしょう。

もし、このクレタ人が本当のことを述べているとしたら、すべてのクレタ人が
嘘つきであるという前提(公理)と矛盾する。また、このクレタ人が嘘を述べて
いる、すなわち、このクレタ人は本当は正直者であるなら、これもまた、
前提であるすべてのクレタ人は嘘つきであるという前提(公理)と矛盾する。

つまり、パラドクスに陥る自己言及は避けなければならない。
その言及システムの外部にいるという前提が必須となる。

186132人目の素数さん2018/07/05(木) 15:56:20.37ID:7dN/LoAC
たぶん論理についての無理解がある

187132人目の素数さん2018/07/05(木) 16:04:37.06ID:oIUeu8Rw
ラッセルのパラドクスは、論理そのものなんだけど。

188132人目の素数さん2018/07/05(木) 18:58:59.93ID:e9uqJtph
ラッセルの逆理、どこが?

189132人目の素数さん2018/07/05(木) 19:24:15.14ID:oIUeu8Rw
まさか、数学板でラッセルの型理論も知らないのではあるまいな。
ホワイトヘッドとの共著「プリンキピア・マテマティカにあるよ

190132人目の素数さん2018/07/05(木) 20:42:15.25ID:e9uqJtph
それだけ、いいたいことは?

191132人目の素数さん2018/07/05(木) 21:05:24.05ID:ORNJdjzU
>>182
そのやり方では、公理系のモデルを構成する側の体系の無矛盾性に問題を移し替えただけ

192132人目の素数さん2018/07/05(木) 21:27:58.43ID:7dN/LoAC
>>191
やっぱりわかってない
具体的な証明を読んでないだろ

193132人目の素数さん2018/07/05(木) 22:35:46.98ID:ORNJdjzU
思わせぶりな言葉で周囲のよく分かってない人達を騙そうとするのやめて

194132人目の素数さん2018/07/05(木) 22:42:13.68ID:mN/BMzK8
>>179
お前マジで1個のりんごと2個のりんごが同じものかもしれないと思ってんの?
爆発律を仮定するなら「矛盾してるかもしれないと思う」ってことはそういうことだから

195132人目の素数さん2018/07/05(木) 22:45:20.84ID:mN/BMzK8
一言で言えば、現実世界が理論のモデルなんよ

196132人目の素数さん2018/07/05(木) 23:35:27.74ID:e9uqJtph
そういうことだ。

197132人目の素数さん2018/07/07(土) 00:24:30.86ID:t0pepoZA
解を予想するのと同じ

198132人目の素数さん2018/07/07(土) 20:31:07.19ID:97ymtDhj
帰納法から導けるのは仮説のみ(´・ω・`)

199132人目の素数さん2018/07/08(日) 10:21:25.10ID:20NtLYCH
論理式の計算に詳しい奴は多いけど、形式理論と現実世界の接続部をちゃんと理解してるやつって少ないよな
そこが科学哲学なんだが

200132人目の素数さん2018/07/08(日) 11:07:55.71ID:0IWLSjeV
>>1
酎ハイ率だっけ?

201132人目の素数さん2018/07/08(日) 21:35:46.75ID:A5V/CLfK
背理法って、なんか二重否定の除去とそのロジックが似てない?
命題の否定を否定出来れば、その命題の真理値が真となるは、
結論の否定を用いて矛盾命題であることが示せれば、命題の証明となるのだから、
似ている感じもする。
逆問題だとまた違うだろうけど、それでも裏や反対、逆から考えるという
発想自体は似ていると思うので、背理法は数学らしいアプローチやね。
それと、なんで帰謬法という呼び方はあまりされないのかね

202132人目の素数さん2018/07/08(日) 23:49:08.35ID:g1jrGeIP
>>201
なんでそんなトリビアルなこと言い出せるかの方が不思議なんですけど・・・

203132人目の素数さん2018/07/09(月) 13:40:32.23ID:OQabmiZp
ぽっと出てきてバカなこと言って論破されると消えるやつwwwwwwwwwwwwww

204132人目の素数さん2018/07/10(火) 21:58:11.47ID:2gQI6Ghi
「無矛盾律を否定する者は、打たれることが打たれないことと同じでないと認めるまで打たれ、焼かれることが焼かれないことと同じではないと認めるまで焼かれるべきだ」って言葉を思い出した

205132人目の素数さん2018/07/13(金) 00:29:45.16ID:SilDAaAA
で、このスレの結論は?

206132人目の素数さん2018/07/13(金) 00:34:33.78ID:0yZnANNF
>>205
お前がビッグバン以来の池沼ということだ

207132人目の素数さん2018/07/13(金) 14:54:05.06ID:BHVJXCfR
>>206
お、俺?!
ヒエ〜〜〜〜

208132人目の素数さん2018/07/13(金) 17:42:38.96ID:/mqP+fF5
ビッグバン以来なら宇宙が範囲だろうし、褒め言葉にしか思えない

209132人目の素数さん2018/07/13(金) 19:59:54.22ID:yQ7QpUxX
池沼のギネス記録って賞金もらえたりすんのかなw

210132人目の素数さん2018/07/16(月) 10:11:03.10ID:QnSF/a8o
数学が無矛盾なら背理法使っていいってことじゃん

211132人目の素数さん2018/07/23(月) 17:59:27.13ID:PV3zIZqq
いいよ

212132人目の素数さん2018/08/04(土) 18:12:03.05ID:1Abx8ltf
広田良吾が馬鹿でワロタ

213132人目の素数さん2018/08/08(水) 15:39:00.28ID:vfO1OYDF
>>212
誰?背理法と関係あんの?2015年に死んだって書いてあるけど

214132人目の素数さん2018/08/08(水) 15:45:35.05ID:0FHluVAI
間違えた
背理法じゃなくて数学的帰納法は嫌いだと書いてあった
ソリトンの人
広田微分で有名

215132人目の素数さん2018/08/11(土) 05:29:21.66ID:2h9OPLBs
背理法と言いながら背理法の仮定を実質的には使ってないような証明は排除すべきだとは思う。

でも、背理法でない証明を書こうとするする時、まず背理法を使った証明をしてからそれを元に背理法を使わない証明を作るしかないことってあるんじゃない?

216132人目の素数さん2018/08/11(土) 06:51:27.63ID:/7veEAAF
>>21
>数理論理学でいう背理法云々とは別物
数理論理学でいう背理法って何なの?

217132人目の素数さん2018/08/11(土) 06:53:45.20ID:/7veEAAF
>>25
なんで?

218132人目の素数さん2018/08/11(土) 06:57:10.83ID:/7veEAAF
>>35
>「全射があったと仮定する」と言いながら、全射であるという条件を使わず、
俺の知ってる証明は全射であることを使ってるけど
使わない証明ってどういうのか教えて

219132人目の素数さん2018/08/11(土) 07:03:38.27ID:/7veEAAF
>>37
a≠-a
だけど
a^2≠(-a)^2
ではないってことを危険と称してるんだろ思う
あの部分は
(√2*a)^2=2*a*a≠b*b=b^2
だから
√2*a≠b
とするべきだと思うけど
それでもf(x)≠f(y)ならばx≠yってのは背理法使うんじゃないの?

220132人目の素数さん2018/08/11(土) 07:10:03.54ID:/7veEAAF
>>88
違うでしょ

221132人目の素数さん2018/08/11(土) 18:58:35.93ID:2h9OPLBs
>>218
f:A→P(A)を写像とする。
S={x∊A:x∉f(x)}
とすればよい。
S∊P(A)だがfの値域に入ってない。

222132人目の素数さん2018/08/11(土) 20:58:10.03ID:2h9OPLBs
>>221
続き(自己レス)
この証明でSがfの値域に入っていないことを示すには普通は背理法を使うだろう。
しかし、「fが全射」という強い仮定を使うことはない。

背理法を使うと実際に証明に必要な仮定より強い仮定をしてしまいがちになり証明の本質が見えにくくなるのは事実だと思う。
しかしだからと言って背理法を一切使うなと言うのもどうかなとも思う。

223132人目の素数さん2018/08/12(日) 15:17:10.43ID:ukjTDPRX
>>222
制限する必要はないな

224132人目の素数さん2018/08/13(月) 04:46:01.18ID:l7n5GHUN
背理法不要論者の言い分だと0^0は1でしか有り得ないらしい…

225132人目の素数さん2018/08/13(月) 07:18:12.46ID:VUpIQsOC
ある条件の下で成り立つ命題を証明して、後にその条件を緩めることが可能、というパターンはよくある。

226132人目の素数さん2018/08/13(月) 19:17:13.78ID:l7n5GHUN
自然数から複素数に至るまで集合で定義できる
ってのと
#φ^#φを満たす集合は唯一つである
ってので
0^0=1
でしか有り得ないっという背理法不要論者の主張

一方で
lim[x→0](x^(log_x(e)))=e
だよね…

227132人目の素数さん2018/08/13(月) 20:08:06.95ID:zQcj074B
0^0の値が何であるかと
x^yが(0,0)で連続でないことは関係ないんでしょ
それ自体は別におかしくないと思うが

228132人目の素数さん2018/08/16(木) 12:09:44.11ID:iW5n26g8
0の0乗と背理法がなんの関係があるの?

229132人目の素数さん2018/08/16(木) 12:44:15.16ID:yGH/7prB
空写像の認識 0^0=1 : 系 - 背理法被害者の会
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html

230132人目の素数さん2018/08/16(木) 13:05:57.19ID:Tp/l7Aeb
>>227
0^0を空集合から空集合への写像の全体と定義するかどうか
(-1)^(-1)とか決められないし
(1/2)^(1/2)もな
べき乗の定義は積までと違って定義する集合によって違う

231132人目の素数さん2018/08/16(木) 15:37:21.83ID:yGH/7prB
え?負整数乗や有理数乗もダメ?商集合で整数、有理数、実数、複素数まで構成していけるのに?

[PDF] 同値関係と商集合
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~matsumoto/lectures/2016-fs2/docs/2016-fs2-C.pdf

232132人目の素数さん2018/08/16(木) 17:30:39.66ID:Umctfcrx
背理法をつかった証明は直接法に機械的になおせるって本当ですか?
コンパクト集合上の連続関数が一様連続である背理法の証明は初頭的だけど直接法はコンパクトの性質をもろに使っていてわかりににくいけどできるのかな?

233132人目の素数さん2018/08/16(木) 18:37:57.59ID:Tp/l7Aeb
>>231
それって最初の奴(有限集合間の写像の総数)を拡張してるだけ
拡張の仕方が一意なんてことはないよ
まあ
集合概念を拡張した超現実数なら-1個とか-2個とか有理数個とかできたと思うけど

234高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」2018/08/16(木) 21:20:10.49ID:dZ5ratnn
高添沼田(葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103号室)の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)

235132人目の素数さん2018/08/17(金) 09:59:32.26ID:ZcdKjTja
まあ実際複素関数として考えたら違ってくるけど、そこは常識的に考えるものだろう

236132人目の素数さん2018/08/24(金) 18:55:55.69ID:Kd7NnAaL
0^0なんていう使わない概念を真面目に考えてもしょうがないだろ。
俺は0^0=1億と定義するわ。文句あるか?

237132人目の素数さん2018/08/26(日) 12:24:01.59ID:OLKUlX43
文句ない

238132人目の素数さん2018/08/26(日) 13:26:46.31ID:PwWJnQ0y
0か1以外に定義したら、普通の分配法則さえ成り立たないぞ

239132人目の素数さん2018/09/09(日) 13:07:50.42ID:vfboXXpV
>>12
x^2=2が実解を持つなら±2、±1である。√2は解である。よって√2は無理数。

240132人目の素数さん2018/09/09(日) 16:16:27.85ID:c5Yc+sxC
>>1
背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ただし証明のルートが二つあるなら、一つ見つけた段階で論文にした方がいい。背理法不要論の先生も、自分の院生が論文を書く場合、
背理法を使うなとは言っていない。背理法が正しい証拠だろう。
背理法が数学的にも論理学的にも正しいことは明らかなのだから、
背理法不要論が意味を持つのは、
背理法が数学教育上悪影響を与えることが実証された場合だけだ。
すなわち、背理法不要論は数学や論理学の問題ではなく、教育の問題だ。
ところが、この部分に関する客観的なデータは皆無だ。
件の先生も自分の主観的な経験を述べているに過ぎない。
この部分について、他者の検証に耐えるデータに基づいて主張しない限り、
科学的でないので誰も相手にしないだろう。そりゃそうだ。
何の興味もない誰かの趣味に付き合う暇人はそうそういない。
今の状態では5chのネタが精一杯だ。5chでもスレオチするかもしれない。

241132人目の素数さん2018/09/09(日) 18:36:38.78ID:3B5fxrOO
>>240
纏め乙

242132人目の素数さん2018/09/09(日) 23:31:13.36ID:DIM/QbEL
直観主義

243132人目の素数さん2018/09/11(火) 13:15:34.97ID:nFkLMuUn
>>240
小保方晴子の「STAPは絶対に存在します!」とのアナロジーがあるということだね

再現性や証明のない自論の固執だけでは、誰も説得できないという、ごく当然の帰結

244132人目の素数さん2018/09/11(火) 18:30:59.65ID:FiEiHdE1
教育方法に実証や再現性を求めるのはどうなんだ???

245132人目の素数さん2018/09/12(水) 05:24:08.11ID:VJZGB+qY
だがドイツでSTAP細胞の実在が認められ、日本のマスコミの伝え方の劣悪さがまた新たに判明
未だに日本世間ではSTAP細胞の科学的実在性さえ認められていない

246132人目の素数さん2018/09/12(水) 09:21:49.73ID:KE+Wsnjk
>>245
仮に、それが本当でも
小保方が発見した(作製)出来た事の証明にはならない
例えば、私が「宇宙人はいますっ」て言えば、最初に発見された時の栄誉は私のものになるのか?

247132人目の素数さん2018/09/12(水) 11:02:30.97ID:VJZGB+qY
>>246
俺が言ったのは実在性の是非で氏の功績の是非じゃないから
マスコミの伝え方・記者質問の仕方は
STAP細胞という概念をトンデモ科学概念と見せかねない報道をした
言ってみればiPS細胞をトンデモ扱いしていた人間の所業に等しい

248132人目の素数さん2018/09/12(水) 11:36:32.69ID:KE+Wsnjk
>>247
あんた馬鹿だなぁ
もともと、小保方達が作製したと発表した事が批判されていただろ?
STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ
お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ
どっか行け

249132人目の素数さん2018/09/12(水) 13:08:48.66ID:VJZGB+qY
>>248
> STAP的なもの自体はその前からあるかも知れないと言われていて、それを偽造して発表しただけ

そのあるかも知れないをトンデモに仕立て上げたのがマスコミ

> お前みたいな頭の足りん馬鹿がそれを混同してるだけ

お前みたいな既存概念依存人間が状況を覚えてないだけ

250132人目の素数さん2018/09/20(木) 08:04:59.10ID:yX+4jBJk
背理法という証明方法はエレガントな感じがするので、むしろ数学に相応しい気がする。
間接的に真理を求める、といった感じ。直接・直截的なのは、なんか野蛮な感じがしないかい?

251132人目の素数さん2018/09/20(木) 08:58:46.51ID:NOxCG9jy
>>250
野蛮な感じか、
初めて聞いた、面白い感想です。

252132人目の素数さん2018/09/20(木) 09:10:49.18ID:7MI2Fg0q
野蛮かはともかく非構成的な証明を未だに否定してる人がいたら流石にな

253132人目の素数さん2018/10/04(木) 18:11:14.43ID:5lbw13zs
>>245
寝言は寝て言え猿ww

254132人目の素数さん2018/10/04(木) 18:11:46.42ID:5lbw13zs
>>249
寝言は寝て言え猿ww

255132人目の素数さん2018/10/05(金) 01:15:36.49ID:GQNkca1D
問: 無理数の無理数乗が有理数となる事はありえるか?
解答: ありえる.

証明:
α = (√2)^(√2) について考える.
(1) α が有理数だとしたら, √2 が無理数なので α自体がその一例である.
(2) α が無理数だとしたら, α^√2 = 2. これも同様.
どっちにしろありえる事が示された.
( 本当のところ α は有理数なの?無理数なの? 証明においてその知識は不要である.)

背理法否定論者は、この証明も叩きそうだなあ...

256132人目の素数さん2018/10/05(金) 03:13:30.42ID:3uWmOd8/
なんでそう思うん?
ただ場合分けしてるだけだよね?

257132人目の素数さん2018/10/05(金) 03:26:46.90ID:m6/qGCq6
>>254
君は議論では249に負けているよ。

258132人目の素数さん2018/10/05(金) 04:22:58.44ID:FgSyo8Oj
ここは数学板ではなく言い負かせ板

259132人目の素数さん2018/10/05(金) 05:21:06.38ID:m6/qGCq6
>>255
背理法とどう関係があるの?

260132人目の素数さん2018/10/05(金) 10:01:04.67ID:xrvCMmui
直感主義的方法ではないですね

αが結局どちらかなのか述べていませんから、何も言っていないのと同じです
直感主義では排中律は認められません

261132人目の素数さん2018/10/05(金) 21:30:34.85ID:7L46lsJb
>>257
寝言は寝て言え猿ww

262132人目の素数さん2018/10/09(火) 23:33:31.46ID:xGB9Dxlt
>>246
小保方氏が細胞を変化させて、その細胞から若山が幹細胞を作った。
ところがそれは若山研究室のES細胞だったと遺伝子解析で判明した。
検証実験は若山は逃げた。小保方氏は細胞を変化させることには成功した。
マスコミは最後まできちんと報道しただろうか?

263132人目の素数さん2018/11/11(日) 00:07:25.95ID:Kuyn1C8v
今日も背理法を使ったせいで頭が腐った

264132人目の素数さん2018/12/06(木) 10:18:35.97ID:wE5JU+tS
わざわざ背理法を使わなくてもいいのに使うやつはマゾ

265132人目の素数さん2018/12/06(木) 11:04:04.56ID:Lm1AtO/k
選択公理を使わなくても比較可能定理を使えばいいぢゃん

266132人目の素数さん2018/12/18(火) 10:42:13.90ID:IfqUBkcV
ゾーンの補題でイイジャン

267132人目の素数さん2018/12/18(火) 10:46:21.86ID:IfqUBkcV
>>240
>背理法で証明できる命題が背理法を使わなくても証明できることは正しい。
>このことは基礎論の研究者によって、かなり前から証明されているようだ。
ちょっとちがくて
背理法というか
排中律無くても二重否定命題は証明可能(埋め込み定理)
でも二重否定命題から命題を証明するのに排中律(背理法)が必要

268132人目の素数さん2018/12/24(月) 19:03:56.18ID:0K+NxvAc
背理法=対偶を証明する
だろう。

269132人目の素数さん2018/12/28(金) 18:53:27.53ID:ZjqumJwb
丸大ハムの宣伝を聞くと、背理法を思い出してしまう。

270132人目の素数さん2019/01/04(金) 22:55:53.70ID:jDQH0deZ
最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだがも背理法不要信者が書いたのか

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